Το όνομα του Κώστα Φορτούνη είναι ψηλά στην λίστα των ανθρώπων της Μπεσίκτας, ενόψει της επόμενης μεταγραφικής περιόδου, σύφωνα με Μέσα από την Τουρκία. Το ρεπορτάζ της «Fotomac» το οποίο αναπαράχθηκε από άλλες ιστοσελίδες ανέφερε πως οι «μαύροι αετοί» που έχουν την οικονομική άνεση, είναι πολύ πιθανό να κινηθούν για την απόκτηση του 24χρονου.
Αν μάλιστα αποχωρήσει ο Οζιακούπ, για τον οποίο υπάρχει ενδιαφέρον από μεγάλα ευρωπαϊκή κλαμπ, οι Τούρκοι θα κινηθούν για παραπάνω από έναν μεσοεπιθετικούς, οπότε αυτό αυξάνει τις πιθανότητες για πρόταση στον Φορτούνη.
Σύμφωνα πάντα με το ρεπορτάζ άνθρωπος της ομάδας (ο Γκοκχάν Κεσίν), παρακολουθεί από κοντά τον παίκτη και μάλιστα βρέθηκε και στον αγώνα της Εθνικής με το Βέλγιο, ενώ αναμένεται να ταξιδέψει και στην Ελλάδα σε ένα από τα επόμενα ματς του Ολυμπιακού
Ο Φορτούνης έχει συμβόλαιο μέχρι το 2021, αποτελεί βασικό στέλεχος των «ερυθρόλευκων» (φέτος έχει 7 γκολ και 6 ασίστ σε 35 συμμετοχές) και για να αποχωρήσει θα πρέπει η πρόταση που θα κατατεθεί (αν και εφόσον) να είναι υπερβολικά καλή.