Ξεκίνησε να ασχολείται με το άθλημα της καλαθόσφαιρας από την ηλικία των 10 ετών στον Κεραυνό Στροβόλου. Από μικρή ηλικία, η Σταύρια Κόνιαλη άρχισε να διαπρέπει στην ακαδημία του Κεραυνού και να ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα κορίτσια.
Μεγάλωσε σε αθλητική οικογένεια, έχει πάντοτε ως στόχο τη διάκριση και έδειξε το ταλέντο της. Γι’ αυτό και ψηφίστηκε ως η καλύτερη κορασίδα το 2008-09 και καλύτερη νεανίδα το 2010-11, χωρίς η ομάδα της να κατακτήσει το πρωτάθλημα.
Το Σεπτέμβριο του 2011 και παράλληλα με τις σπουδές της (διοίκηση επιχειρήσεων ΑΣΟΕΕ) αποφάσισε να κάνει το μεγάλο βήμα περνώντας από δοκιμαστικά στην ομάδα μπάσκετ του Παναθηναϊκού. Η Σταύρια με τις ικανότητες και τη επαγγελματική της συμπεριφορά κατάφερε να πείσει τους ανθρώπους του Παναθηναϊκού και να κερδίσει συμβόλαιο σε μια από τις μεγαλύτερες ομάδες της Ευρώπης, κάνοντας περήφανη την οικογένειά της και τη χώρα της.
Στο Παναθηναϊκό η καριέρα της πέρασε από διάφορες δυσκολίες. Τον πρώτο χρόνο αρκέστηκε στα λεπτά συμμέτοχης των νεανίδων και στις δυνατές προπονήσεις με τη γυναικεία ομάδα, κατακτώντας και στα δύο πρωταθλήματα τη δεύτερη θέση. Στο δεύτερο χρόνο είχε πιο ενεργό ρόλο στη γυναικεία ομάδα και το τέλος της χρονιάς τη βρήκε πρωταθλήτρια, κερδίζοντας επάξια και κλήση στην εθνική Κύπρου μόλις στα 19 της χρόνια.
Με την Εθνική πραγματοποίησε καταπληκτικές εμφανίσεις και κατέκτησε την 3η θέση στους Αγώνες Μικρών Κρατών το καλοκαίρι του 2013 στο Λουξεμβούργο.
Μετά, από την εξαιρετική χρονιά της Κόνιαλη σε συλλογικό και ομαδικό επίπεδο, η διοίκηση του Παναθηναϊκού αποφάσισε να την παραχωρήσει δανεική στα Μελίσσια για να πάρει περισσότερο χρόνο συμμετοχής. Έτσι κι έγινε, με την Κύπρια διεθνή να έχει πρωταγωνιστικό ρόλο έχοντας 27 λεπτά και 12,6 πόντους ανά αγώνα.
Οι εμφανίσεις της Κόνιαλη στα Μελίσσια κάθε άλλο παρά απαρατήρητες πέρασαν από τους διοικούντες τον Παναθηναϊκό, αφού την αμέσως επόμενη χρόνια της πρότειναν αναπροσαρμογή συμβολαίου. Και σήμερα, βρίσκεται στο δυναμικό της ομάδας των πρασίνων.